Dreieck 42 45 46

Spitzwinkligen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 42   b = 45   c = 46

Fläche: T = 847.4033054927
Umfang: p = 133
Semiperimeter (halb Umfang): s = 66.5

Winkel ∠ A = α = 54.96595509522° = 54°57'34″ = 0.95992251195 rad
Winkel ∠ B = β = 61.31098651567° = 61°18'36″ = 1.07700590109 rad
Winkel ∠ C = γ = 63.73105838912° = 63°43'50″ = 1.11223085231 rad

Höhe: ha = 40.35325264251
Höhe: hb = 37.66223579968
Höhe: hc = 36.84436110838

Mittlere: ma = 40.36770657839
Mittlere: mb = 37.86548913903
Mittlere: mc = 36.95326724338

Inradius: r = 12.74329030816
Umkreisradius: R = 25.6498951669

Scheitelkoordinaten: A[46; 0] B[0; 0] C[20.16330434783; 36.84436110838]
Schwerpunkt: SC[22.05443478261; 12.28112036946]
Koordinaten des Umkreismittel: U[23; 11.35220360165]
Koordinaten des Inkreis: I[21.5; 12.74329030816]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 125.0440449048° = 125°2'26″ = 0.95992251195 rad
∠ B' = β' = 118.6990134843° = 118°41'24″ = 1.07700590109 rad
∠ C' = γ' = 116.2699416109° = 116°16'10″ = 1.11223085231 rad

Berechnen Sie ein anderes Dreieck


Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

1. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p=a+b+c=42+45+46=133p = a+b+c = 42+45+46 = 133

2. Semiperimeter des Dreiecks

Der Halbmesser des Dreiecks ist die Hälfte seines Umfangs. Das Semiperimeter erscheint häufig in Formeln für Dreiecke, denen ein eigener Name gegeben wird. Durch die Dreiecksungleichung ist die längste Seitenlänge eines Dreiecks kleiner als das Semiperimeter.

s=p2=1332=66.5s = \dfrac{ p }{ 2 } = \dfrac{ 133 }{ 2 } = 66.5

3. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

Die Formel von Heron gibt die Fläche eines Dreiecks an, wenn die Länge aller drei Seiten bekannt ist. Es ist nicht erforderlich, zuerst Winkel oder andere Abstände im Dreieck zu berechnen. Die Formel von Heron funktioniert in allen Fällen und Arten von Dreiecken gleich gut.

T=s(sa)(sb)(sc) T=66.5(66.542)(66.545)(66.546) T=718091.94=847.4T = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ T = \sqrt{ 66.5(66.5-42)(66.5-45)(66.5-46) } \ \\ T = \sqrt{ 718091.94 } = 847.4

4. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Höhe des Dreiecks zu ermitteln. Der einfachste Weg ist von der Fläche und Grundlänge. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Länge der Basis und der Höhe. Jede Seite des Dreiecks kann eine Basis sein; Es gibt drei Basen und drei Höhen. Die Dreieckshöhe ist das senkrechte Liniensegment von einem Scheitelpunkt zu einer Linie, die die Basis enthält.

T=aha2  ha=2 Ta=2 847.442=40.35 hb=2 Tb=2 847.445=37.66 hc=2 Tc=2 847.446=36.84T = \dfrac{ a h _a }{ 2 } \ \\ \ \\ h _a = \dfrac{ 2 \ T }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 847.4 }{ 42 } = 40.35 \ \\ h _b = \dfrac{ 2 \ T }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 847.4 }{ 45 } = 37.66 \ \\ h _c = \dfrac{ 2 \ T }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 847.4 }{ 46 } = 36.84

5. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

Das Gesetz des Cosinus ist nützlich, um die Winkel eines Dreiecks zu finden, wenn wir alle drei Seiten kennen. Die Kosinusregel, auch als Kosinusgesetz bekannt, bezieht alle drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel eines Dreiecks ein. Das Gesetz des Kosinus ist die Extrapolation des Satzes von Pythagoras für jedes Dreieck. Der Satz von Pythagoras funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes und kann daraus abgeleitet werden, weil der Kosinus von 90 ° 0 ist. Es ist am besten, den Winkel gegenüber der längsten Seite zuerst zu finden. Mit dem Cosinusgesetz gibt es auch kein Problem (wie mit dem Sinusgesetz) mit stumpfen Winkeln, da die Cosinusfunktion für stumpfe Winkel negativ, für rechte Null und für spitze Winkel positiv ist. Wir verwenden auch den inversen Kosinus, der als Arkuskosinus bezeichnet wird, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu bestimmen.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(452+4624222 45 46)=545734"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(422+4624522 42 46)=611836" γ=180αβ=180545734"611836"=634350"a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 45^2+46^2-42^2 }{ 2 \cdot \ 45 \cdot \ 46 } ) = 54^\circ 57'34" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 42^2+46^2-45^2 }{ 2 \cdot \ 42 \cdot \ 46 } ) = 61^\circ 18'36" \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 54^\circ 57'34" - 61^\circ 18'36" = 63^\circ 43'50"

6. Inradius

Ein Kreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite berührt. Ein Incircle-Center heißt Incenter und hat einen Radius mit dem Namen inradius. Alle Dreiecke haben einen Mittelpunkt, der immer innerhalb des Dreiecks liegt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Das Produkt aus Inradius und Semiperimeter (halber Umfang) eines Dreiecks ist seine Fläche.

T=rs r=Ts=847.466.5=12.74T = rs \ \\ r = \dfrac{ T }{ s } = \dfrac{ 847.4 }{ 66.5 } = 12.74

7. Umkreisradius

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft, und der Umkreis eines Dreiecks ist der Radius des Umkreises des Dreiecks. Der Mittelpunkt (Mittelpunkt des Kreises) ist der Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden.

R=abc4 rs=42 45 464 12.743 66.5=25.65R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 42 \cdot \ 45 \cdot \ 46 }{ 4 \cdot \ 12.743 \cdot \ 66.5 } = 25.65

8. Berechnung des Medians

Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich alle im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Der Schwerpunkt unterteilt jeden Median im Verhältnis 2: 1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nahe am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Wir verwenden den Satz von Apollonius, um die Länge eines Medians aus den Längen seiner Seite zu berechnen.

ma=2b2+2c2a22=2 452+2 4624222=40.367 mb=2c2+2a2b22=2 462+2 4224522=37.865 mc=2a2+2b2c22=2 422+2 4524622=36.953m_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 45^2+2 \cdot \ 46^2 - 42^2 } }{ 2 } = 40.367 \ \\ m_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 46^2+2 \cdot \ 42^2 - 45^2 } }{ 2 } = 37.865 \ \\ m_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 42^2+2 \cdot \ 45^2 - 46^2 } }{ 2 } = 36.953

Berechnen Sie ein anderes Dreieck


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