Dreieck-Rechner

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Symboldefinition des ABC-Dreiecks

Eingetragen seite a, c und winkel α.

Dreieck hat zwei Lösungen: a=25.3; b=23.61881257376; c=42.1 und a=25.3; b=47.94328390119; c=42.1.

#1 Stumpfen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 25.3   b = 23.61881257376   c = 42.1

Fläche: T = 261.9822158372
Umfang: p = 91.01881257376
Semiperimeter (halb Umfang): s = 45.50990628688

Winkel ∠ A = α = 31.8° = 31°48' = 0.55550147021 rad
Winkel ∠ B = β = 29.46771998726° = 29°28'2″ = 0.51442996591 rad
Winkel ∠ C = γ = 118.7332800127° = 118°43'58″ = 2.07222782923 rad

Höhe: ha = 20.71100520452
Höhe: hb = 22.18548389904
Höhe: hc = 12.44657082362

Mittlere: ma = 31.70331612253
Mittlere: mb = 32.66218437043
Mittlere: mc = 12.48440070361

Inradius: r = 5.75767029918
Umkreisradius: R = 24.0065808662

Scheitelkoordinaten: A[42.1; 0] B[0; 0] C[22.02771275136; 12.44657082362]
Schwerpunkt: SC[21.37657091712; 4.14985694121]
Koordinaten des Umkreismittel: U[21.05; -11.5440205783]
Koordinaten des Inkreis: I[21.89109371312; 5.75767029918]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 148.2° = 148°12' = 0.55550147021 rad
∠ B' = β' = 150.5332800127° = 150°31'58″ = 0.51442996591 rad
∠ C' = γ' = 61.26771998726° = 61°16'2″ = 2.07222782923 rad


Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

Die Berechnung des Dreiecksfortschritts in zwei Phasen. Die erste Phase ist so, dass wir versuchen, alle drei Seiten des Dreiecks aus den Eingabeparametern zu berechnen. Die erste Phase unterscheidet sich für die verschiedenen eingegebenen Dreiecke. Die zweite Phase ist die Berechnung von Andere Merkmale des Dreiecks wie Winkel, Fläche, Umfang, Höhe, Schwerpunkt, Kreisradien usw. Einige Eingabedaten führen auch zu zwei bis drei korrekten Dreieckslösungen (z. B. wenn das angegebene Dreieck und zwei Seiten angegeben sind) - in der Regel sowohl ein akutes als auch ein stumpfes Dreieck ergeben.

1. Eingabedaten eingegeben: seite a, c und winkel α.

a = 25.3; c = 42.1; alpha = 31.8°

2. Von winkel α, seite c und seite a berechnen wir seite b - Mit dem Cosinus-Satz und der daraus resultierenden quadratischen Gleichung berechnen wir die unbekannte Seite b:

a**2 = c**2 + b**2 - 2c b cos alpha; ; ; 25.3**2 = 42.1**2 + b**2 - 2 * 42.1 * b * cos 31° 48'; ; ; ; b**2 -71.561b +1132.32 =0; ; ; p=1; q=-71.561; r=1132.32; D = q**2 - 4pr = 71.561**2 - 4 * 1 * 1132.32 = 591.691675878
D>0; ; ; b_{1,2} = fraction{ -q ± sqrt{ D } }{ 2p } = fraction{ 71.56 ± sqrt{ 591.69 } }{ 2 }; b_{1,2} = 35.78048237 ± 12.1623566372; b_{1} = 47.9428390119; b_{2} = 23.6181257376; ; ; text{ Faktorierte Form: }; (b -47.9428390119) (b -23.6181257376) = 0
; b > 0; ; ; b = 47.943
Jetzt wissen wir, dass die Längen aller drei Seiten des Dreiecks das Dreieck eindeutig bestimmen. Als nächstes berechnen wir ein anderes seine Eigenschaften - dasselbe Verfahren wie Berechnung des Dreiecks von den bekannten drei Seiten SSS .

a = 25.3; b = 23.62; c = 42.1

3. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p = a+b+c = 25.3+23.62+42.1 = 91.02

4. Semiperimeter des Dreiecks

Der Halbmesser des Dreiecks ist die Hälfte seines Umfangs. Das Semiperimeter erscheint häufig in Formeln für Dreiecke, denen ein eigener Name gegeben wird. Durch die Dreiecksungleichung ist die längste Seitenlänge eines Dreiecks kleiner als das Semiperimeter.

s = fraction{ p }{ 2 } = fraction{ 91.02 }{ 2 } = 45.51

5. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

Die Formel von Heron gibt die Fläche eines Dreiecks an, wenn die Länge aller drei Seiten bekannt ist. Es ist nicht erforderlich, zuerst Winkel oder andere Abstände im Dreieck zu berechnen. Die Formel von Heron funktioniert in allen Fällen und Arten von Dreiecken gleich gut.

T = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }; T = sqrt{ 45.51 * (45.51-25.3)(45.51-23.62)(45.51-42.1) }; T = sqrt{ 68634.65 } = 261.98

6. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Höhe des Dreiecks zu ermitteln. Der einfachste Weg ist von der Fläche und Grundlänge. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Länge der Basis und der Höhe. Jede Seite des Dreiecks kann eine Basis sein; Es gibt drei Basen und drei Höhen. Die Dreieckshöhe ist das senkrechte Liniensegment von einem Scheitelpunkt zu einer Linie, die die Basis enthält.

T = fraction{ a h_a }{ 2 }; ; ; h_a = fraction{ 2 T }{ a } = fraction{ 2 * 261.98 }{ 25.3 } = 20.71; h_b = fraction{ 2 T }{ b } = fraction{ 2 * 261.98 }{ 23.62 } = 22.18; h_c = fraction{ 2 T }{ c } = fraction{ 2 * 261.98 }{ 42.1 } = 12.45

7. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

Das Gesetz des Cosinus ist nützlich, um die Winkel eines Dreiecks zu finden, wenn wir alle drei Seiten kennen. Die Kosinusregel, auch als Kosinusgesetz bekannt, bezieht alle drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel eines Dreiecks ein. Das Gesetz des Kosinus ist die Extrapolation des Satzes von Pythagoras für jedes Dreieck. Der Satz von Pythagoras funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes und kann daraus abgeleitet werden, weil der Kosinus von 90 ° 0 ist. Es ist am besten, den Winkel gegenüber der längsten Seite zuerst zu finden. Mit dem Cosinusgesetz gibt es auch kein Problem (wie mit dem Sinusgesetz) mit stumpfen Winkeln, da die Cosinusfunktion für stumpfe Winkel negativ, für rechte Null und für spitze Winkel positiv ist. Wir verwenden auch den inversen Kosinus, der als Arkuskosinus bezeichnet wird, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu bestimmen.

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha; ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 23.62**2+42.1**2-25.3**2 }{ 2 * 23.62 * 42.1 } ) = 31° 48'; ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 25.3**2+42.1**2-23.62**2 }{ 2 * 25.3 * 42.1 } ) = 29° 28'2"
 gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 31° 48' - 29° 28'2" = 118° 43'58"

8. Inradius

Ein Kreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite berührt. Ein Incircle-Center heißt Incenter und hat einen Radius mit dem Namen inradius. Alle Dreiecke haben einen Mittelpunkt, der immer innerhalb des Dreiecks liegt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Das Produkt aus Inradius und Semiperimeter (halber Umfang) eines Dreiecks ist seine Fläche.

T = rs; r = fraction{ T }{ s } = fraction{ 261.98 }{ 45.51 } = 5.76

9. Umkreisradius

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft, und der Umkreis eines Dreiecks ist der Radius des Umkreises des Dreiecks. Der Mittelpunkt (Mittelpunkt des Kreises) ist der Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden.

R = fraction{ a b c }{ 4 r s } = fraction{ 25.3 * 23.62 * 42.1 }{ 4 * 5.757 * 45.509 } = 24.01

10. Berechnung des Medians

Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich alle im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Der Schwerpunkt unterteilt jeden Median im Verhältnis 2: 1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nahe am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Wir verwenden den Satz von Apollonius, um die Länge eines Medians aus den Längen seiner Seite zu berechnen.

m_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 23.62**2+2 * 42.1**2 - 25.3**2 } }{ 2 } = 31.703; m_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 42.1**2+2 * 25.3**2 - 23.62**2 } }{ 2 } = 32.662; m_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 23.62**2+2 * 25.3**2 - 42.1**2 } }{ 2 } = 12.484



#2 Spitzwinkligen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 25.3   b = 47.94328390119   c = 42.1

Fläche: T = 531.8022082111
Umfang: p = 115.3432839012
Semiperimeter (halb Umfang): s = 57.6711419506

Winkel ∠ A = α = 31.8° = 31°48' = 0.55550147021 rad
Winkel ∠ B = β = 86.93328001274° = 86°55'58″ = 1.51772635902 rad
Winkel ∠ C = γ = 61.26771998726° = 61°16'2″ = 1.06993143613 rad

Höhe: ha = 42.04396902855
Höhe: hb = 22.18548389904
Höhe: hc = 25.26437568699

Mittlere: ma = 43.30663552641
Mittlere: mb = 25.13220720767
Mittlere: mc = 32.03443628977

Inradius: r = 9.22112414168
Umkreisradius: R = 24.0065808662

Scheitelkoordinaten: A[42.1; 0] B[0; 0] C[1.35437314427; 25.26437568699]
Schwerpunkt: SC[14.48545771476; 8.421125229]
Koordinaten des Umkreismittel: U[21.05; 11.5440205783]
Koordinaten des Inkreis: I[9.7298580494; 9.22112414168]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 148.2° = 148°12' = 0.55550147021 rad
∠ B' = β' = 93.06771998726° = 93°4'2″ = 1.51772635902 rad
∠ C' = γ' = 118.7332800127° = 118°43'58″ = 1.06993143613 rad

Berechnen Sie ein anderes Dreieck

Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

Die Berechnung des Dreiecksfortschritts in zwei Phasen. Die erste Phase ist so, dass wir versuchen, alle drei Seiten des Dreiecks aus den Eingabeparametern zu berechnen. Die erste Phase unterscheidet sich für die verschiedenen eingegebenen Dreiecke. Die zweite Phase ist die Berechnung von Andere Merkmale des Dreiecks wie Winkel, Fläche, Umfang, Höhe, Schwerpunkt, Kreisradien usw. Einige Eingabedaten führen auch zu zwei bis drei korrekten Dreieckslösungen (z. B. wenn das angegebene Dreieck und zwei Seiten angegeben sind) - in der Regel sowohl ein akutes als auch ein stumpfes Dreieck ergeben.

1. Eingabedaten eingegeben: seite a, c und winkel α.

a = 25.3; c = 42.1; alpha = 31.8° : Nr. 1

2. Von winkel α, seite c und seite a berechnen wir seite b - Mit dem Cosinus-Satz und der daraus resultierenden quadratischen Gleichung berechnen wir die unbekannte Seite b:

a**2 = c**2 + b**2 - 2c b cos alpha; ; ; 25.3**2 = 42.1**2 + b**2 - 2 * 42.1 * b * cos 31° 48'; ; ; ; b**2 -71.561b +1132.32 =0; ; ; p=1; q=-71.561; r=1132.32; D = q**2 - 4pr = 71.561**2 - 4 * 1 * 1132.32 = 591.691675878 : Nr. 1
D>0; ; ; b_{1,2} = fraction{ -q ± sqrt{ D } }{ 2p } = fraction{ 71.56 ± sqrt{ 591.69 } }{ 2 }; b_{1,2} = 35.78048237 ± 12.1623566372; b_{1} = 47.9428390119; b_{2} = 23.6181257376; ; ; text{ Faktorierte Form: }; (b -47.9428390119) (b -23.6181257376) = 0 : Nr. 1
; b > 0; ; ; b = 47.943 : Nr. 1
Jetzt wissen wir, dass die Längen aller drei Seiten des Dreiecks das Dreieck eindeutig bestimmen. Als nächstes berechnen wir ein anderes seine Eigenschaften - dasselbe Verfahren wie Berechnung des Dreiecks von den bekannten drei Seiten SSS .

a = 25.3; b = 47.94; c = 42.1

3. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p = a+b+c = 25.3+47.94+42.1 = 115.34

4. Semiperimeter des Dreiecks

Der Halbmesser des Dreiecks ist die Hälfte seines Umfangs. Das Semiperimeter erscheint häufig in Formeln für Dreiecke, denen ein eigener Name gegeben wird. Durch die Dreiecksungleichung ist die längste Seitenlänge eines Dreiecks kleiner als das Semiperimeter.

s = fraction{ p }{ 2 } = fraction{ 115.34 }{ 2 } = 57.67

5. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

Die Formel von Heron gibt die Fläche eines Dreiecks an, wenn die Länge aller drei Seiten bekannt ist. Es ist nicht erforderlich, zuerst Winkel oder andere Abstände im Dreieck zu berechnen. Die Formel von Heron funktioniert in allen Fällen und Arten von Dreiecken gleich gut.

T = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }; T = sqrt{ 57.67 * (57.67-25.3)(57.67-47.94)(57.67-42.1) }; T = sqrt{ 282813.45 } = 531.8

6. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Höhe des Dreiecks zu ermitteln. Der einfachste Weg ist von der Fläche und Grundlänge. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Länge der Basis und der Höhe. Jede Seite des Dreiecks kann eine Basis sein; Es gibt drei Basen und drei Höhen. Die Dreieckshöhe ist das senkrechte Liniensegment von einem Scheitelpunkt zu einer Linie, die die Basis enthält.

T = fraction{ a h_a }{ 2 }; ; ; h_a = fraction{ 2 T }{ a } = fraction{ 2 * 531.8 }{ 25.3 } = 42.04; h_b = fraction{ 2 T }{ b } = fraction{ 2 * 531.8 }{ 47.94 } = 22.18; h_c = fraction{ 2 T }{ c } = fraction{ 2 * 531.8 }{ 42.1 } = 25.26

7. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

Das Gesetz des Cosinus ist nützlich, um die Winkel eines Dreiecks zu finden, wenn wir alle drei Seiten kennen. Die Kosinusregel, auch als Kosinusgesetz bekannt, bezieht alle drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel eines Dreiecks ein. Das Gesetz des Kosinus ist die Extrapolation des Satzes von Pythagoras für jedes Dreieck. Der Satz von Pythagoras funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes und kann daraus abgeleitet werden, weil der Kosinus von 90 ° 0 ist. Es ist am besten, den Winkel gegenüber der längsten Seite zuerst zu finden. Mit dem Cosinusgesetz gibt es auch kein Problem (wie mit dem Sinusgesetz) mit stumpfen Winkeln, da die Cosinusfunktion für stumpfe Winkel negativ, für rechte Null und für spitze Winkel positiv ist. Wir verwenden auch den inversen Kosinus, der als Arkuskosinus bezeichnet wird, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu bestimmen.

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha; ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 47.94**2+42.1**2-25.3**2 }{ 2 * 47.94 * 42.1 } ) = 31° 48'; ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 25.3**2+42.1**2-47.94**2 }{ 2 * 25.3 * 42.1 } ) = 86° 55'58"
 gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 31° 48' - 86° 55'58" = 61° 16'2"

8. Inradius

Ein Kreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite berührt. Ein Incircle-Center heißt Incenter und hat einen Radius mit dem Namen inradius. Alle Dreiecke haben einen Mittelpunkt, der immer innerhalb des Dreiecks liegt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Das Produkt aus Inradius und Semiperimeter (halber Umfang) eines Dreiecks ist seine Fläche.

T = rs; r = fraction{ T }{ s } = fraction{ 531.8 }{ 57.67 } = 9.22

9. Umkreisradius

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft, und der Umkreis eines Dreiecks ist der Radius des Umkreises des Dreiecks. Der Mittelpunkt (Mittelpunkt des Kreises) ist der Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden.

R = fraction{ a b c }{ 4 r s } = fraction{ 25.3 * 47.94 * 42.1 }{ 4 * 9.221 * 57.671 } = 24.01

10. Berechnung des Medians

Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich alle im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Der Schwerpunkt unterteilt jeden Median im Verhältnis 2: 1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nahe am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Wir verwenden den Satz von Apollonius, um die Länge eines Medians aus den Längen seiner Seite zu berechnen.

m_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 47.94**2+2 * 42.1**2 - 25.3**2 } }{ 2 } = 43.306; m_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 42.1**2+2 * 25.3**2 - 47.94**2 } }{ 2 } = 25.132; m_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 47.94**2+2 * 25.3**2 - 42.1**2 } }{ 2 } = 32.034
Berechnen Sie ein anderes Dreieck


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