Dreieck-Rechner

Bitte geben Sie, was Sie über das Dreieck kennen:
Symboldefinition des ABC-Dreiecks

Eingetragen seite a, b und winkel α.

Dreieck hat zwei Lösungen: a=8.1; b=10.6; c=3.86994850299 und a=8.1; b=10.6; c=12.08217110387.

#1 Stumpfen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 8.1   b = 10.6   c = 3.86994850299

Fläche: T = 13.50985817281
Umfang: p = 22.56994850299
Semiperimeter (halb Umfang): s = 11.2854742515

Winkel ∠ A = α = 41.2° = 41°12' = 0.71990756518 rad
Winkel ∠ B = β = 120.459938999° = 120°27'34″ = 2.10224129703 rad
Winkel ∠ C = γ = 18.341061001° = 18°20'26″ = 0.32201040315 rad

Höhe: ha = 3.33554522785
Höhe: hb = 2.54987890053
Höhe: hc = 6.98221082773

Mittlere: ma = 6.87548787043
Mittlere: mb = 3.49330584304
Mittlere: mc = 9.23326470419

Inradius: r = 1.19770660128
Umkreisradius: R = 6.1498572651

Scheitelkoordinaten: A[3.86994850299; 0] B[0; 0] C[-4.10661130044; 6.98221082773]
Schwerpunkt: SC[-0.07988759915; 2.32773694258]
Koordinaten des Umkreismittel: U[1.9354742515; 5.83662416884]
Koordinaten des Inkreis: I[0.6854742515; 1.19770660128]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 138.8° = 138°48' = 0.71990756518 rad
∠ B' = β' = 59.541061001° = 59°32'26″ = 2.10224129703 rad
∠ C' = γ' = 161.659938999° = 161°39'34″ = 0.32201040315 rad




Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

1. Eingabedaten eingegeben: seite a, b und winkel α.

a = 8.1 ; ; b = 10.6 ; ; alpha = 41.2° ; ;

2. Von winkel α, seite b und seite a berechnen wir seite c - Mit dem Cosinus-Satz und der daraus resultierenden quadratischen Gleichung berechnen wir die unbekannte Seite c:

a**2 = b**2 + c**2 - 2b c cos alpha ; ; ; ; 8.1**2 = 10.6**2 + c**2 - 2 * 10.6 * c * cos 41° 12' ; ; ; ; ; ; c**2 -15.951c +46.75 =0 ; ; p=1; q=-15.951; r=46.75 ; ; D = q**2 - 4pr = 15.951**2 - 4 * 1 * 46.75 = 67.4406560186 ; ; D>0 ; ; ; ; c_{1,2} = fraction{ -q ± sqrt{ D } }{ 2p } = fraction{ 15.95 ± sqrt{ 67.44 } }{ 2 } ; ; c_{1,2} = 7.97559803 ± 4.10611300437 ; ; c_{1} = 12.0817110344 ; ; c_{2} = 3.86948502563 ; ; ; ; text{ Faktorierte Form: } ; ; (c -12.0817110344) (c -3.86948502563) = 0 ; ; ; ; c > 0 ; ; ; ; c = 12.082 ; ;


Jetzt wissen wir, dass die Längen aller drei Seiten des Dreiecks das Dreieck eindeutig bestimmen. Als nächstes berechnen wir ein anderes seine Eigenschaften - dasselbe Verfahren wie Berechnung des Dreiecks von den bekannten drei Seiten SSS .

a = 8.1 ; ; b = 10.6 ; ; c = 3.87 ; ;

3. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p = a+b+c = 8.1+10.6+3.87 = 22.57 ; ;

4. Semiperimeter des Dreiecks

s = fraction{ o }{ 2 } = fraction{ 22.57 }{ 2 } = 11.28 ; ;

5. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

T = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } ; ; T = sqrt{ 11.28 * (11.28-8.1)(11.28-10.6)(11.28-3.87) } ; ; T = sqrt{ 182.48 } = 13.51 ; ;

6. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

T = fraction{ a h _a }{ 2 } ; ; h _a = fraction{ 2 T }{ a } = fraction{ 2 * 13.51 }{ 8.1 } = 3.34 ; ; h _b = fraction{ 2 T }{ b } = fraction{ 2 * 13.51 }{ 10.6 } = 2.55 ; ; h _c = fraction{ 2 T }{ c } = fraction{ 2 * 13.51 }{ 3.87 } = 6.98 ; ;

7. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 10.6**2+3.87**2-8.1**2 }{ 2 * 10.6 * 3.87 } ) = 41° 12' ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta ; ; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 8.1**2+3.87**2-10.6**2 }{ 2 * 8.1 * 3.87 } ) = 120° 27'34" ; ; gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 41° 12' - 120° 27'34" = 18° 20'26" ; ;

8. Inradius

T = rs ; ; r = fraction{ T }{ s } = fraction{ 13.51 }{ 11.28 } = 1.2 ; ;

9. Umkreisradius

R = fraction{ a }{ 2 * sin alpha } = fraction{ 8.1 }{ 2 * sin 41° 12' } = 6.15 ; ;

10. Berechnung des Medians

m_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 10.6**2+2 * 3.87**2 - 8.1**2 } }{ 2 } = 6.875 ; ; m_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 3.87**2+2 * 8.1**2 - 10.6**2 } }{ 2 } = 3.493 ; ; m_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 10.6**2+2 * 8.1**2 - 3.87**2 } }{ 2 } = 9.233 ; ;







#2 Spitzwinkligen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 8.1   b = 10.6   c = 12.08217110387

Fläche: T = 42.17879073232
Umfang: p = 30.78217110387
Semiperimeter (halb Umfang): s = 15.39108555193

Winkel ∠ A = α = 41.2° = 41°12' = 0.71990756518 rad
Winkel ∠ B = β = 59.541061001° = 59°32'26″ = 1.03991796833 rad
Winkel ∠ C = γ = 79.259938999° = 79°15'34″ = 1.38333373184 rad

Höhe: ha = 10.41442981045
Höhe: hb = 7.95880957214
Höhe: hc = 6.98221082773

Mittlere: ma = 10.61989157079
Mittlere: mb = 8.81546962971
Mittlere: mc = 7.24552097688

Inradius: r = 2.74404524245
Umkreisradius: R = 6.1498572651

Scheitelkoordinaten: A[12.08217110387; 0] B[0; 0] C[4.10661130044; 6.98221082773]
Schwerpunkt: SC[5.39659413477; 2.32773694258]
Koordinaten des Umkreismittel: U[6.04108555193; 1.14658665888]
Koordinaten des Inkreis: I[4.79108555193; 2.74404524245]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 138.8° = 138°48' = 0.71990756518 rad
∠ B' = β' = 120.459938999° = 120°27'34″ = 1.03991796833 rad
∠ C' = γ' = 100.741061001° = 100°44'26″ = 1.38333373184 rad

Berechnen Sie ein anderes Dreieck

Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

1. Eingabedaten eingegeben: seite a, b und winkel α.

a = 8.1 ; ; b = 10.6 ; ; alpha = 41.2° ; ; : Nr. 1

2. Von winkel α, seite b und seite a berechnen wir seite c - Mit dem Cosinus-Satz und der daraus resultierenden quadratischen Gleichung berechnen wir die unbekannte Seite c:

a**2 = b**2 + c**2 - 2b c cos alpha ; ; ; ; 8.1**2 = 10.6**2 + c**2 - 2 * 10.6 * c * cos 41° 12' ; ; ; ; ; ; c**2 -15.951c +46.75 =0 ; ; p=1; q=-15.951; r=46.75 ; ; D = q**2 - 4pr = 15.951**2 - 4 * 1 * 46.75 = 67.4406560186 ; ; D>0 ; ; ; ; c_{1,2} = fraction{ -q ± sqrt{ D } }{ 2p } = fraction{ 15.95 ± sqrt{ 67.44 } }{ 2 } ; ; c_{1,2} = 7.97559803 ± 4.10611300437 ; ; c_{1} = 12.0817110344 ; ; c_{2} = 3.86948502563 ; ; ; ; text{ Faktorierte Form: } ; ; (c -12.0817110344) (c -3.86948502563) = 0 ; ; ; ; c > 0 ; ; ; ; c = 12.082 ; ; : Nr. 1


Jetzt wissen wir, dass die Längen aller drei Seiten des Dreiecks das Dreieck eindeutig bestimmen. Als nächstes berechnen wir ein anderes seine Eigenschaften - dasselbe Verfahren wie Berechnung des Dreiecks von den bekannten drei Seiten SSS .

a = 8.1 ; ; b = 10.6 ; ; c = 12.08 ; ;

3. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p = a+b+c = 8.1+10.6+12.08 = 30.78 ; ;

4. Semiperimeter des Dreiecks

s = fraction{ o }{ 2 } = fraction{ 30.78 }{ 2 } = 15.39 ; ;

5. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

T = sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } ; ; T = sqrt{ 15.39 * (15.39-8.1)(15.39-10.6)(15.39-12.08) } ; ; T = sqrt{ 1778.98 } = 42.18 ; ;

6. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

T = fraction{ a h _a }{ 2 } ; ; h _a = fraction{ 2 T }{ a } = fraction{ 2 * 42.18 }{ 8.1 } = 10.41 ; ; h _b = fraction{ 2 T }{ b } = fraction{ 2 * 42.18 }{ 10.6 } = 7.96 ; ; h _c = fraction{ 2 T }{ c } = fraction{ 2 * 42.18 }{ 12.08 } = 6.98 ; ;

7. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

a**2 = b**2+c**2 - 2bc cos alpha ; ; alpha = arccos( fraction{ b**2+c**2-a**2 }{ 2bc } ) = arccos( fraction{ 10.6**2+12.08**2-8.1**2 }{ 2 * 10.6 * 12.08 } ) = 41° 12' ; ; b**2 = a**2+c**2 - 2ac cos beta ; ; beta = arccos( fraction{ a**2+c**2-b**2 }{ 2ac } ) = arccos( fraction{ 8.1**2+12.08**2-10.6**2 }{ 2 * 8.1 * 12.08 } ) = 59° 32'26" ; ; gamma = 180° - alpha - beta = 180° - 41° 12' - 59° 32'26" = 79° 15'34" ; ;

8. Inradius

T = rs ; ; r = fraction{ T }{ s } = fraction{ 42.18 }{ 15.39 } = 2.74 ; ;

9. Umkreisradius

R = fraction{ a }{ 2 * sin alpha } = fraction{ 8.1 }{ 2 * sin 41° 12' } = 6.15 ; ; : Nr. 1

10. Berechnung des Medians

m_a = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2c**2 - a**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 10.6**2+2 * 12.08**2 - 8.1**2 } }{ 2 } = 10.619 ; ; m_b = fraction{ sqrt{ 2 c**2+2a**2 - b**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 12.08**2+2 * 8.1**2 - 10.6**2 } }{ 2 } = 8.815 ; ; m_c = fraction{ sqrt{ 2 b**2+2a**2 - c**2 } }{ 2 } = fraction{ sqrt{ 2 * 10.6**2+2 * 8.1**2 - 12.08**2 } }{ 2 } = 7.245 ; ;
Berechnen Sie ein anderes Dreieck

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