Dreieck 7 10 15

Stumpfen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 7   b = 10   c = 15

Fläche: T = 29.39438769134
Umfang: p = 32
Semiperimeter (halb Umfang): s = 16

Winkel ∠ A = α = 23.07439180656° = 23°4'26″ = 0.40327158416 rad
Winkel ∠ B = β = 34.048773237° = 34°2'52″ = 0.59442450327 rad
Winkel ∠ C = γ = 122.8788349564° = 122°52'42″ = 2.14546317793 rad

Höhe: ha = 8.39882505467
Höhe: hb = 5.87987753827
Höhe: hc = 3.91991835885

Mittlere: ma = 12.25876506721
Mittlere: mb = 10.58330052443
Mittlere: mc = 4.27220018727

Inradius: r = 1.83771173071
Umkreisradius: R = 8.93304313539

Scheitelkoordinaten: A[15; 0] B[0; 0] C[5.8; 3.91991835885]
Schwerpunkt: SC[6.93333333333; 1.30663945295]
Koordinaten des Umkreismittel: U[7.5; -4.84879484493]
Koordinaten des Inkreis: I[6; 1.83771173071]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 156.9266081934° = 156°55'34″ = 0.40327158416 rad
∠ B' = β' = 145.952226763° = 145°57'8″ = 0.59442450327 rad
∠ C' = γ' = 57.12216504356° = 57°7'18″ = 2.14546317793 rad

Berechnen Sie ein anderes Dreieck


Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

Die Berechnung des Dreiecksfortschritts in zwei Phasen. Die erste Phase ist so, dass wir versuchen, alle drei Seiten des Dreiecks aus den Eingabeparametern zu berechnen. Die erste Phase unterscheidet sich für die verschiedenen eingegebenen Dreiecke. Die zweite Phase ist die Berechnung von Andere Merkmale des Dreiecks wie Winkel, Fläche, Umfang, Höhe, Schwerpunkt, Kreisradien usw. Einige Eingabedaten führen auch zu zwei bis drei korrekten Dreieckslösungen (z. B. wenn das angegebene Dreieck und zwei Seiten angegeben sind) - in der Regel sowohl ein akutes als auch ein stumpfes Dreieck ergeben.
Jetzt wissen wir, dass die Längen aller drei Seiten des Dreiecks das Dreieck eindeutig bestimmen. Als nächstes berechnen wir ein anderes seine Eigenschaften - dasselbe Verfahren wie Berechnung des Dreiecks von den bekannten drei Seiten SSS .

a=7 b=10 c=15a = 7 \ \\ b = 10 \ \\ c = 15

1. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p=a+b+c=7+10+15=32p = a+b+c = 7+10+15 = 32

2. Semiperimeter des Dreiecks

Der Halbmesser des Dreiecks ist die Hälfte seines Umfangs. Das Semiperimeter erscheint häufig in Formeln für Dreiecke, denen ein eigener Name gegeben wird. Durch die Dreiecksungleichung ist die längste Seitenlänge eines Dreiecks kleiner als das Semiperimeter.

s=p2=322=16s = \dfrac{ p }{ 2 } = \dfrac{ 32 }{ 2 } = 16

3. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

Die Formel von Heron gibt die Fläche eines Dreiecks an, wenn die Länge aller drei Seiten bekannt ist. Es ist nicht erforderlich, zuerst Winkel oder andere Abstände im Dreieck zu berechnen. Die Formel von Heron funktioniert in allen Fällen und Arten von Dreiecken gleich gut.

T=s(sa)(sb)(sc) T=16(167)(1610)(1615) T=864=29.39T = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ T = \sqrt{ 16(16-7)(16-10)(16-15) } \ \\ T = \sqrt{ 864 } = 29.39

4. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Höhe des Dreiecks zu ermitteln. Der einfachste Weg ist von der Fläche und Grundlänge. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Länge der Basis und der Höhe. Jede Seite des Dreiecks kann eine Basis sein; Es gibt drei Basen und drei Höhen. Die Dreieckshöhe ist das senkrechte Liniensegment von einem Scheitelpunkt zu einer Linie, die die Basis enthält.

T=aha2  ha=2 Ta=2 29.397=8.4 hb=2 Tb=2 29.3910=5.88 hc=2 Tc=2 29.3915=3.92T = \dfrac{ a h _a }{ 2 } \ \\ \ \\ h _a = \dfrac{ 2 \ T }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 29.39 }{ 7 } = 8.4 \ \\ h _b = \dfrac{ 2 \ T }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 29.39 }{ 10 } = 5.88 \ \\ h _c = \dfrac{ 2 \ T }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 29.39 }{ 15 } = 3.92

5. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

Das Gesetz des Cosinus ist nützlich, um die Winkel eines Dreiecks zu finden, wenn wir alle drei Seiten kennen. Die Kosinusregel, auch als Kosinusgesetz bekannt, bezieht alle drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel eines Dreiecks ein. Das Gesetz des Kosinus ist die Extrapolation des Satzes von Pythagoras für jedes Dreieck. Der Satz von Pythagoras funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes und kann daraus abgeleitet werden, weil der Kosinus von 90 ° 0 ist. Es ist am besten, den Winkel gegenüber der längsten Seite zuerst zu finden. Mit dem Cosinusgesetz gibt es auch kein Problem (wie mit dem Sinusgesetz) mit stumpfen Winkeln, da die Cosinusfunktion für stumpfe Winkel negativ, für rechte Null und für spitze Winkel positiv ist. Wir verwenden auch den inversen Kosinus, der als Arkuskosinus bezeichnet wird, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu bestimmen.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(102+152722 10 15)=23426"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(72+1521022 7 15)=34252" γ=180αβ=18023426"34252"=1225242"a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 10^2+15^2-7^2 }{ 2 \cdot \ 10 \cdot \ 15 } ) = 23^\circ 4'26" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 7^2+15^2-10^2 }{ 2 \cdot \ 7 \cdot \ 15 } ) = 34^\circ 2'52" \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 23^\circ 4'26" - 34^\circ 2'52" = 122^\circ 52'42"

6. Inradius

Ein Kreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite berührt. Ein Incircle-Center heißt Incenter und hat einen Radius mit dem Namen inradius. Alle Dreiecke haben einen Mittelpunkt, der immer innerhalb des Dreiecks liegt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Das Produkt aus Inradius und Semiperimeter (halber Umfang) eines Dreiecks ist seine Fläche.

T=rs r=Ts=29.3916=1.84T = rs \ \\ r = \dfrac{ T }{ s } = \dfrac{ 29.39 }{ 16 } = 1.84

7. Umkreisradius

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft, und der Umkreis eines Dreiecks ist der Radius des Umkreises des Dreiecks. Der Mittelpunkt (Mittelpunkt des Kreises) ist der Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden.

R=abc4 rs=7 10 154 1.837 16=8.93R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 7 \cdot \ 10 \cdot \ 15 }{ 4 \cdot \ 1.837 \cdot \ 16 } = 8.93

8. Berechnung des Medians

Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich alle im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Der Schwerpunkt unterteilt jeden Median im Verhältnis 2: 1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nahe am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Wir verwenden den Satz von Apollonius, um die Länge eines Medians aus den Längen seiner Seite zu berechnen.

ma=2b2+2c2a22=2 102+2 152722=12.258 mb=2c2+2a2b22=2 152+2 721022=10.583 mc=2a2+2b2c22=2 72+2 1021522=4.272m_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 10^2+2 \cdot \ 15^2 - 7^2 } }{ 2 } = 12.258 \ \\ m_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 15^2+2 \cdot \ 7^2 - 10^2 } }{ 2 } = 10.583 \ \\ m_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 7^2+2 \cdot \ 10^2 - 15^2 } }{ 2 } = 4.272

Berechnen Sie ein anderes Dreieck


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