Dreieck-Rechner SSW

Dreieck hat zwei Lösungen mit Seiten c=105.34441726061 und mit Seiten c=71.43325226905

#1 Spitzwinkligen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 125 b = 90 c = 105.34441726061

Fläche: T = 4655.59986755176
Umfang: p = 320.34441726061
Semiperimeter (halb Umfang): s = 160.17220863031

Winkel ∠ A = α = 79.1410688732° = 79°8'26″ = 1.38112655907 rad
Winkel ∠ B = β = 45° = 0.78553981634 rad
Winkel ∠ C = γ = 55.8599311268° = 55°51'34″ = 0.97549288995 rad

Höhe: h_a = 74.49895788083
Höhe: h_b = 103.45877483448
Höhe: h_c = 88.38883476483

Mittlere: m_a = 75.4488309133
Mittlere: m_b = 106.47215800157
Mittlere: m_c = 95.33217959785

Inradius: r = 29.06662298467
Umkreisradius: R = 63.64396103068

Scheitelkoordinaten: A[105.34441726061; 0] B[0; 0] C[88.38883476483; 88.38883476483]
Schwerpunkt: SC[64.57875067515; 29.46327825494]
Koordinaten des Umkreismittel: U[52.67220863031; 35.71662613453]
Koordinaten des Inkreis: I[70.17220863031; 29.06662298467]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 100.8599311268° = 100°51'34″ = 1.38112655907 rad
∠ B' = β' = 135° = 0.78553981634 rad
∠ C' = γ' = 124.1410688732° = 124°8'26″ = 0.97549288995 rad

Wie haben wir dieses Dreieck berechnet?

Die Berechnung des Dreiecksfortschritts in zwei Phasen. Die erste Phase ist so, dass wir versuchen, alle drei Seiten des Dreiecks aus den Eingabeparametern zu berechnen. Die erste Phase unterscheidet sich für die verschiedenen eingegebenen Dreiecke. Die zweite Phase ist die Berechnung von Andere Merkmale des Dreiecks wie Winkel, Fläche, Umfang, Höhe, Schwerpunkt, Kreisradien usw. Einige Eingabedaten führen auch zu zwei bis drei korrekten Dreieckslösungen (z. B. wenn das angegebene Dreieck und zwei Seiten angegeben sind) - in der Regel sowohl ein akutes als auch ein stumpfes Dreieck ergeben.

1. Kosinussatz

a = 125 b = 90 β = 45 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β 9 0^{2} = 12 5^{2} + c^{2} - 2 \cdot 125 \cdot c \cdot cos 45 ° c^{2} - 176.777 c + 7525 = 0 p = 1; q = - 176.777; r = 7525 D = q^{2} - 4 p r = 176.77 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7525 = 1150 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{1 7 6 . 7 8 \pm 1 1 5 0}{2} c_{1, 2} = 88.388348 \pm 16.955825 c_{1} = 105.344172606 c_{2} = 71.432522691 c > 0 c = 105.34

Jetzt wissen wir, dass die Längen aller drei Seiten des Dreiecks das Dreieck eindeutig bestimmen. Als nächstes berechnen wir ein anderes seine Eigenschaften - dasselbe Verfahren wie Berechnung des Dreiecks von den bekannten drei Seiten SSS .

a = 125 b = 90 c = 105.34

2. Der Dreiecksumfang ist die Summe der Längen seiner drei Seiten

p = a + b + c = 125 + 90 + 105.34 = 320.34

3. Semiperimeter des Dreiecks

Der Halbmesser des Dreiecks ist die Hälfte seines Umfangs. Das Semiperimeter erscheint häufig in Formeln für Dreiecke, denen ein eigener Name gegeben wird. Durch die Dreiecksungleichung ist die längste Seitenlänge eines Dreiecks kleiner als das Semiperimeter.

s = \frac{p}{2} = \frac{3 2 0 . 3 4}{2} = 160.17

4. Das Dreiecksgebiet mit Herons Formel

Die Formel von Heron gibt die Fläche eines Dreiecks an, wenn die Länge aller drei Seiten bekannt ist. Es ist nicht erforderlich, zuerst Winkel oder andere Abstände im Dreieck zu berechnen. Die Formel von Heron funktioniert in allen Fällen und Arten von Dreiecken gleich gut.

T = s (s - a) (s - b) (s - c) T = 160.17 (160.17 - 125) (160.17 - 90) (160.17 - 105.34) T = 21674599.03 = 4655.6

5. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks aus seinem Inhalt.

Es gibt viele Möglichkeiten, die Höhe des Dreiecks zu ermitteln. Der einfachste Weg ist von der Fläche und Grundlänge. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus der Länge der Basis und der Höhe. Jede Seite des Dreiecks kann eine Basis sein; Es gibt drei Basen und drei Höhen. Die Dreieckshöhe ist das senkrechte Liniensegment von einem Scheitelpunkt zu einer Linie, die die Basis enthält.

T = \frac{a h _{a}}{2} h_{a} = \frac{2 T}{a} = \frac{2 \cdot 4 6 5 5 . 6}{1 2 5} = 74.49 h_{b} = \frac{2 T}{b} = \frac{2 \cdot 4 6 5 5 . 6}{9 0} = 103.46 h_{c} = \frac{2 T}{c} = \frac{2 \cdot 4 6 5 5 . 6}{1 0 5 . 3 4} = 88.39

6. Berechnung der inneren Winkel des Dreiecks mit einem Kosinusgesetz

Das Gesetz des Cosinus ist nützlich, um die Winkel eines Dreiecks zu finden, wenn wir alle drei Seiten kennen. Die Kosinusregel, auch als Kosinusgesetz bekannt, bezieht alle drei Seiten eines Dreiecks mit einem Winkel eines Dreiecks ein. Das Gesetz des Kosinus ist die Extrapolation des Satzes von Pythagoras für jedes Dreieck. Der Satz von Pythagoras funktioniert nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des Kosinussatzes und kann daraus abgeleitet werden, weil der Kosinus von 90 ° 0 ist. Es ist am besten, den Winkel gegenüber der längsten Seite zuerst zu finden. Mit dem Cosinusgesetz gibt es auch kein Problem (wie mit dem Sinusgesetz) mit stumpfen Winkeln, da die Cosinusfunktion für stumpfe Winkel negativ, für rechte Null und für spitze Winkel positiv ist. Wir verwenden auch den inversen Kosinus, der als Arkuskosinus bezeichnet wird, um den Winkel aus dem Kosinuswert zu bestimmen.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 0 5 . 3 4 ^{2} - 1 2 5 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 0 5 . 3 4}) = 79 ° 8^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 2 5 ^{2} + 1 0 5 . 3 4 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 2 5 \cdot 1 0 5 . 3 4}) = 45 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 79 ° 8^{'} 26 " - 45 ° = 55 ° 5 1^{'} 34 "

7. Inradius

Ein Kreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite berührt. Ein Incircle-Center heißt Incenter und hat einen Radius mit dem Namen inradius. Alle Dreiecke haben einen Mittelpunkt, der immer innerhalb des Dreiecks liegt. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Das Produkt aus Inradius und Semiperimeter (halber Umfang) eines Dreiecks ist seine Fläche.

T = r s r = \frac{T}{s} = \frac{4 6 5 5 . 6}{1 6 0 . 1 7} = 29.07

8. Umkreisradius

Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft, und der Umkreis eines Dreiecks ist der Radius des Umkreises des Dreiecks. Der Mittelpunkt (Mittelpunkt des Kreises) ist der Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 2 5 \cdot 9 0 \cdot 1 0 5 . 3 4}{4 \cdot 2 9 . 0 6 6 \cdot 1 6 0 . 1 7 2} = 63.64

9. Berechnung des Medians

Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich alle im Schwerpunkt des Dreiecks schneiden. Der Schwerpunkt unterteilt jeden Median im Verhältnis 2: 1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nahe am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt. Wir verwenden den Satz von Apollonius, um die Länge eines Medians aus den Längen seiner Seite zu berechnen.

m_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 0 5 . 3 4 ^{2} - 1 2 5 ^{2}}{2} = 75.448 m_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 5 . 3 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 5 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 106.472 m_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 5 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 0 5 . 3 4 ^{2}}{2} = 95.332

#2 Stumpfen ungleichseitiges dreieck.

Seiten: a = 125 b = 90 c = 71.43325226905

Fläche: T = 3156.90113244824
Umfang: p = 286.43325226905
Semiperimeter (halb Umfang): s = 143.21662613453

Winkel ∠ A = α = 100.8599311268° = 100°51'34″ = 1.76603270629 rad
Winkel ∠ B = β = 45° = 0.78553981634 rad
Winkel ∠ C = γ = 34.1410688732° = 34°8'26″ = 0.59658674273 rad

Höhe: h_a = 50.51104211917
Höhe: h_b = 70.15333627663
Höhe: h_c = 88.38883476483

Mittlere: m_a = 51.91438964918
Mittlere: m_b = 91.31770446793
Mittlere: m_c = 102.89224131096

Inradius: r = 22.0432897188
Umkreisradius: R = 63.64396103068

Scheitelkoordinaten: A[71.43325226905; 0] B[0; 0] C[88.38883476483; 88.38883476483]
Schwerpunkt: SC[53.27436234463; 29.46327825494]
Koordinaten des Umkreismittel: U[35.71662613453; 52.67220863031]
Koordinaten des Inkreis: I[53.21662613453; 22.0432897188]

Äußere Winkel des Dreiecks:
∠ A' = α' = 79.1410688732° = 79°8'26″ = 1.76603270629 rad
∠ B' = β' = 135° = 0.78553981634 rad
∠ C' = γ' = 145.8599311268° = 145°51'34″ = 0.59658674273 rad

Berechnen Sie ein anderes Dreieck